從初中的銳角三角函數（對邊／斜邊）出發，當我們面對大於 $90^\circ$ 或負角時，幾何上的直角三角形已不再適用。此時，單位圓成為了統一所有角度、定義三角函數的核心工具。
1. 任意角的三角函數定義
設 $\alpha$ 為一個任意角，其終邊與單位圓相交於點 $P(x, y)$，則定義：
- 正弦 (Sine): $\sin \alpha = y$
- 餘弦 (Cosine): $\cos \alpha = x$
- 正切 (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
若點 $P(x, y)$ 位於半徑為 $r$ 的圓上，則 $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$。
2. 同角基本關係式
由單位圓的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 直接導出：
1. 平方關係： $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. 商數關係： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. 商數關係： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. 收集多項式各項：一個 $x^2$ 正方形，三個 $x$ 矩形條，以及兩個 $1\times1$ 單位正方形。
2. 開始將它們在幾何上進行拼接。
3. 它們完美地形成了一個更大的連續長方形！寬度為 $(x+2)$，高度為 $(x+1)$。
題目 1
寫出與 $60^\circ$ 終邊相同的角的集合，並找出符合不等式 $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$ 的元素 $\beta$。
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = 60^\circ \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
正確！終邊相同的角相差 $360^\circ$ 的整數倍。當 $k=0$ 時 $\beta=60^\circ$，當 $k=-1$ 時 $\beta=-300^\circ$，皆符合範圍條件。
提示：終邊相同的角的一般形式為 $k \cdot 360^\circ + \alpha$。在該範圍內尋找符合條件的 $k$ 值。
題目 2
已知 $\alpha$ 為銳角，那麼 $2\alpha$ 是 ( )。
第一象限角
第二象限角
小於 $180^\circ$ 的正角
第一或第二象限角
正確。因為 $\alpha$ 是銳角，即 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$，所以 $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$。注意 $2\alpha$ 可能是直角，不一定屬於某個象限。
注意：銳角範圍為 $(0, 90^\circ)$，兩倍後的範圍為 $(0, 180^\circ)$。包含第一象限、第二象限以及界限 $90^\circ$。
題目 3
已知角 $\theta$ 的終邊經過點 $P(-12, 5)$，求 $\sin \theta$ 的值。
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
正確！首先計算 $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$。根據定義 $\sin \theta = y/r = 5/13$。
計算 $r$：$r = \sqrt{x^2+y^2}$。正弦值的定義為 $y/r$。
題目 4
(口答) 設 $\alpha$ 為三角形的一個內角，在 $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ 中，哪些可能取負值？
只有 $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ 與 $\tan \alpha$
三者皆有可能
只有 $\tan \alpha$
正確。三角形內角範圍為 $(0, \pi)$。在第一象限 $(0, \pi/2)$ 全為正；在第二象限 $(\pi/2, \pi)$（鈍角），正弦為正，餘弦與正切皆為負。
提示：三角形內角可能為銳角、直角或鈍角。考慮鈍角在第二象限的函數符號。
題目 5
用五點法畫 $y = -\sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的圖象，以下哪個點不是其中的關鍵點？
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
正確。五點法通常取週期的四分之一點，即 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ 及其對應的函數值。$\pi/4$ 不是五點法的標準關鍵點。
五點法選取的是函數取得極值與零點的關鍵位置。
題目 6
下列函數中，既是奇函數又是週期為 $\pi$ 的函數是 ( )。
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正確。$y = \sin 2x$ 是奇函數，且週期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 雖然也是奇函數且週期為 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中題目中更常作為此類型的標準答案，且 $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ 也滿足條件（選項 A 更直接）。
檢查週期公式 $T = 2\pi/\omega$ 以及奇偶性 $f(-x) = -f(x)$。
題目 7
不透過求值，比較 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 與 $\cos(-\frac{3\pi}{5})$ 的大小。
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
相等
無法比較
正確。$\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$。由於 $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$，且餘弦函數在 $[0, \pi]$ 上單調遞減，故較小的角對應的餘弦值較大。
提示：利用誘導公式 $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$。並在同一個單調區間內比較角度大小。
題目 8
已知函數 $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$，其最小正週期為 ( )。
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
正確。根據週期公式 $T = 2\pi / |\omega|$，此處 $\omega = 2$，故 $T = 2\pi / 2 = \pi$。
週期公式：$T = 2\pi / \omega$。
題目 9
求 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$ 的值。
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
正確。利用二倍角公式的逆運用：$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$。因此 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$。
提示：使用二倍角公式 $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$。
題目 10
已知 $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$，則 $\tan \beta$ 的值為 ( )。
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
正確。兩邊平方：$1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$。因為和為 $1/5 > 0$ 且積為負，故 $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$（第二象限）。解方程組得 $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$，故 $\tan \beta = -4/3$。
提示：將等式平方求出 $\sin \beta \cos \beta$，結合 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 解出具體的正餘弦值。
挑戰：摩天輪的三角建模
實際週期性現象分析
某摩天輪最高點距離地面 120 公尺，最低點距離地面 10 公尺，摩天輪旋轉一圈需 30 分鐘。假設摩天輪均速轉動，遊客從最低點進入座艙開始計時。
Q1
求遊客距離地面的高度 $h$（公尺）與時間 $t$（分鐘）的函數解析式。
詳細解析：
1. 振幅 $A$: 半徑為 $(120 - 10) / 2 = 55$ 公尺。
2. 垂直位移 $k$: 中心高度為 $(120 + 10) / 2 = 65$ 公尺。
3. 角速度 $\omega$: 週期 $T=30$，則 $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$。
4. 相位 $\phi$: $t=0$ 時處於最低點 $h=10$。設 $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$。當 $t=0$ 時，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$。
解析式： $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
1. 振幅 $A$: 半徑為 $(120 - 10) / 2 = 55$ 公尺。
2. 垂直位移 $k$: 中心高度為 $(120 + 10) / 2 = 65$ 公尺。
3. 角速度 $\omega$: 週期 $T=30$，則 $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$。
4. 相位 $\phi$: $t=0$ 時處於最低點 $h=10$。設 $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$。當 $t=0$ 時，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$。
解析式： $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
Q2
遊客開始轉動 5 分鐘後，距離地面的高度是多少？
詳細解析：
將 $t=5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ 公尺。
結論： 高度為 37.5 公尺。
將 $t=5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ 公尺。
結論： 高度為 37.5 公尺。
Q3
如果座艙均速轉動，經過 $\frac{1}{2}$ 週期後，座艙的位置變化在單位圓投影上如何體現？
詳細解析：
經過半個週期（15 分鐘），角度增加了 $\pi$ 弧度。在單位圓上，這意味著點 $P(x, y)$ 旋轉至關於原點對稱的點 $P'(-x, -y)$。在三角函數中表現為誘導公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，若原本在最低點，半週期後必在最高點。
經過半個週期（15 分鐘），角度增加了 $\pi$ 弧度。在單位圓上，這意味著點 $P(x, y)$ 旋轉至關於原點對稱的點 $P'(-x, -y)$。在三角函數中表現為誘導公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，若原本在最低點，半週期後必在最高點。
✨ 核心要點
單位圓上看坐標，$y$ 是正弦 $x$ 餘弦。平方相加恆等於一，比值正切永流傳！
💡 坐標即函數值
記住「單位圓」是核心。終邊與單位圓交點的橫坐標 $x$ 即為 $\cos \alpha$，縱坐標 $y$ 即為 $\sin \alpha$，無需再除以半徑。
💡 象限符號口訣
「一全正，二正弦，三正切，四餘弦」。這決定了你在進行開方運算（如由 $\sin$ 求 $\cos$）時如何選擇正負號。
💡 正切的定義域
因為 $\tan \alpha = y/x$，當終邊在 $y$ 軸上時（即 $\alpha = k\pi + \pi/2$），$x=0$，此時正切值無意義。
💡 弧度制提醒
在應用泰勒公式或物理週期模型（$T=2\pi/\omega$）時，角度必須使用弧度制，不可直接代入角度制數值。
💡 五點法作圖
畫正餘弦曲線時，準確找出三個零點與兩個極值點，用平滑的「波浪線」連接，不要畫成折線。